Contoh Soal Barisan Dan Deret Aritmatika Beserta Jawabannya

Pembahasan mata pelajaran matematika kali ini akan mengupas duduk perkara mengenai barisan dan deret aritmatika.

Persoalan yang paling sering muncul atau ditanyakan yaitu mencari suku ke-n dari suatu barisan, menentukan beda antar suku, memilih banyaknya suku dan mencari nilai suku pertama.

Namun sebelum kita memasuki ke latihan soal, kita akan memahami terlebih dahulu apa itu barisan dan deret aritmatika. Karena selain barisan dan deret aritmatika, kita juga mengenal barisan dan deret geometri. Namun dalam pembahasan kali ini, fokus kita teteap pada barisan dan deret aritmatika.

Barisan dan Deret Aritmatika

Setelah diuraikan dalam klarifikasi selanjutnya, dibutuhkan kita mengerti ibarat apa barisan atau deret serta perbedaannya dan juga mengetahui maksud dari barisan dan deret aritmatika. Disamping itu kita sanggup memahami yang mana dinamakan suku dan nilai beda.

Apa itu Barisan ?

Barisan yaitu suatu susunan bilangan yang dibuat berdasarkan suatu urutan tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh:

1, 2, 3, 4, 5,6,7 (Bilangan 1 yaitu suku pertama, bilangan 2 yaitu suku kedua dst)
2, 5, 8, 11, 14,17 (Bilangan 8 yaitu suku ketiga, bilangan 17 yaitu suku keenam).
14, 12, 10, 8, 6, 4, 2 (Bilangan 12 yaitu suku kedua, bilangan 10 yaitu suku ketiga dst).

Sehingga terperinci bahwa barisan itu kumpulan bilangan yang mempunyai rujukan tertentu, sedangkan bilangan-bilangan yang membentuk barisan dengan rujukan tertentu dinamakan suku. Ada yang bertindak sebagai suku pertama, kedua, ketiga dst.

Apa itu Deret ?

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U₁,U₂,U₃,…..U_n
maka : U₁ + U₂ + U₃ +… +U_n yaitu deret.

Contoh :

1 + 2 + 3 + 4 +… + .U_n

2 + 4 + 6 + 8 +… + .U_n

Apa itu barisan Aritmatika ?

Barisan aritmatika yaitu barisan yang mempunyai nilai selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku berurutan tersebut disebut nilai beda, disimbolkan dengan b.

Dalam barisan aritmatika, urutan perbedaan antara satu suku dengan suku berikutnya yaitu konstan. Dengan kata lain, kita hanya menambahkan nilai yang sama setiap waktu.

Contoh:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Barisan tersebut mempunyai nilai beda 3 antara satu suku dengan suku berikutnya.

Secara umum, kita sanggup menulis barisan aritmatika tersebut :

{a, a+b, a+2b, a+3b, ... }

dimana:

a yaitu suku pertama,
b yaitu nilai beda.

Rumus-Rumus Barisan Aritmatika

1. Untuk mencari Suku ke-n :

U_n = a + (n - 1)b
dimana :

U_n: suku ke-n
a: suku pertama
b: nilai beda
n: banyak suku

2. Untuk mencari nilai beda :

b = U_n-U_(n-1)
dimana :

b yaitu nilai beda
U_n: suku ke-n

3. Untuk mencari Suku Tengah
Kita sanggup mencari suku tengah yang mempunyai n suku ganjil (banyaknya sukunya ganjil) dimana diketahui suku pertama dan suku terakhir, maka dipakai rumus :

U_t = a + U_n 2
dimana :

U_t yaitu suku tengah
a yaitu suku pertama
U_n yaitu suku ke-n (dalam hal ini bertindak sebagai suku terakhir)

Namun bila untuk mencari suku tengah yang kondisinya hanya diketahui suku pertama, banyaknya n suku dan nilai beda, maka rumusnya:

U_t = a + (n-1)b 2 dimana :

U_t yaitu suku tengah
a yaitu suku pertama
n menyatakan banyaknya suku
b menyatakan nilai beda

Apa itu Deret Aritmatika

Deret aritmatika yaitu jumlah dari barisan aritmatika yang biasa ditandai dengan tanda plus (+).

Contoh :

2 + 4 + 6 + 8 + 10
3 + 6 + 9 + 12 + 15

Untuk mencari jumlah dari suatu deret aritmatika, dipakai rumus:

S_n = n 2 (a+U_n)
atau
S_n = n 2 (2a + (n-1)b) dimana :

S_n menyatakan jumlah suku ke-n
a yaitu suku pertama
U_n menyatakan nilai suku ke-n
b menyatakan nilai beda
n menyatakan banyaknya suku

Latihan Soal

Soal No.1

Sebuah barisan aritmatika mempunyai jumlah suku ganjil. Jika suku pertamanyanya 4 dan suku terakhirnya yaitu 20, maka suku tengahnya adalah:
a. 12
b. 8
c. 10
d. 16

Pembahasan

a = 4
U_n = 20
U_t= a + U_n 2 = 20 + 4 2 = 12

Jawab : a

Soal No.2

Terdapat sebuah barisan aritmatika sebanyak tujuh suku. Jika suku pertama dan nilai bedanya yaitu 2. Berapakah suku tengahnya ?
a. 9
b. 8
c. 10
d. 12

Pembahasan:

a = 2
b = 2
n = 7
U_t= a + (n-1)b 2 U_t= a + (n-1)b 2 = 2 + (7-1)2 2 = 8

Jawab : b

Soal No.3

Diketahui suatua barisan aritmatika :2, 5, 8, 11, 14, .........U_n. Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut:
a. U_n = 3n -1
a. U_n = 3n -2
c. U_n = 3n + 1
d. U_n = 3n + 3

Pembahasan:

a = 2
b = 3
U_n= a + (n-1)b
U_n= 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n-1

Jawab : a

Soal No.4

Diketahui U₂ + U₄ = 12 dan U₃ + U₅ = 16, maka suku ke-7 barisan itu yaitu
a. 15
b. 14
c. 12
d. 10

Pembahasan

Dari penjumlahan suku ke-2 dan ke-4 :
(1) U₂ +U₄ = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ 2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6

Dari penjumlahan suku ke-3 dan ke-5 :
(2) U₃ + U₅ = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8

Langkah berikutnya, kita akan melaksanakan substitusi persamaa 1 ke persamaan 2:
a + 2b = 6
a = 6 – 2b.... substitusi ke persamaan (2)

Persamaan (2):
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2

Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.

Jadi, suku pertama barisan itu yaitu 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut yaitu :
U₇ = a + 6b
⇒ U₇ = 2 + 6(2) ⇒ U₇ = 14

Jawab: b

Soal No.5

Dalam sebuah barisan aritmatika diketahui suku kedua yaitu 5 dan suku kelima yaitu 14. Maka berapakah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut ?
a. 210
b. 300
c. 430
d. 155

Pembahasan:

Suku Kedua :
⇒ U₂ = 5
⇒ a + b = 5
⇒ a = 5 - b...(Persamaan 1)

Suku Kelima :
⇒ U₅ = 14
⇒ a + 4b = 14...(Persamaan 2)

Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2
⇒ a + 4b = 14
⇒ 5 - b + 4b = 14
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3
Kaprikornus a = 5 -b
⇒ a = 5 - 3 = 2

Jumlah 10 suku pertama:
⇒ S_n= n 2 (a+U_n)
⇒ S₁₀= 10 2 (a+U₁₀)
⇒ S₁₀= 5 (a + a + 9b)
⇒ S₁₀= 5 (2 + 2 + 9.3)
⇒ S₁₀= 155

Jawab: d

Soal No.6

Diketahui suatu suku ke-4 dan suku ke-9 dari deret aritmatika yaitu 16 dan 51. Jumlah 25 suku pertama yaitu ...
a. 163
b. 326
c. 1975
d. 3950

Pembahasan

Rumus suku ke-n :
U_n = a + (n - 1)b

Suku ke-4 :
⇒ U₄ = 16 ⇒ a + 3b = 16 ......(Persamaan 1)

Suku ke-9 :
⇒ U₉ = 51 ⇒ a + 8b = 51 ......(Persamaan 2)

Lakukan penngurangan Persamaan(2) dengan Persamaan(1) :

a + 8b = 51 a + 3b = 16 ___________ _     5b = 35      b = 7

Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 3b = 16
⇒ a + 3(7) = 16
⇒ a + 21 = 16
⇒ a = 16 -21
⇒ a = -5

Jumlah 25 suku pertama:
⇒ S_n= n 2 (a+U_n)
⇒ S₂₅ = 25 2 (a + U₂₅)
⇒ S₂₅ = 25 2 (a + a + 24b )
⇒ S₂₅ = 25 2 (-5 - 5 + 24(7) )
⇒ S₂₅ = 25 2 (-10 + 168 )
⇒ S₂₅ = 25 2 158
S₂₅ = 1975

Jawab : c

Soal No.7

Diketahui jumlah 3 bilangan genap berurutan 114.Jumlah bilangan terbesar dan terkecil adalah....
a. 36 dan 40
b. 36 dan 38
c. 38 dan 40
d. 36 dan 42

Pembahasan

Dari soal di atas, bilangan genap berurutan niscaya akan mempunyai nilai beda sama dengan 2.

Lalu dari bilangan genap berturut-turut, sanggup kita misalkan U₁, U₂, U₃

Dari soal diketahui tiga bilangan genap berurutan bernilai 114, sanggup kita maknai sebagai :
U₁ + U₂ + U₃ = 114
Suku ke-1 yaitu :
⇒ U₁ = a + (1 - 1) 2
⇒ U₁ = a

Suku ke-2:
⇒ U₂ = a + (n - 1) b
⇒ U₂ = a + (2 - 1) 2
⇒ U₂ = a + 2

Suku ke-3:
⇒ U₃ = a + (n - 1) b
⇒ U₃ = a + (3 - 1) 2
⇒ U₃ = a + 4

Lalu jumlahkan ketiga suku tersebut :
U₁ + U₂ + U₃ = 114
⇒ a + a + 2 + a + 4 = 114
⇒ 3a + 6 = 114
⇒ 3a = 114 - 6
⇒ 3a = 108
⇒ a = 36

Kaprikornus suku ke-2 yaitu :
⇒ U₂ = a + 2
⇒ U₂ = 36 + 2
⇒ U₂ = 38

Kaprikornus suku ke-3 yaitu :
⇒ U₂ = a + 4
⇒ U₂ = 36 + 4
⇒ U₂ = 40

Kaprikornus nilai bilangan terkecil 36 dan bilangan terbesar 40

Jawab : a